方法线（MethodOfLines.jl）：解锁PDE求解新境界

MethodOfLines.jl 是一个用于解决部分微分方程的 Julia 库。以下是使用 MethodOfLines.jl 解锁PDE（Partial Differential Equation）求解新境界的示例代码：

using MethodOfLines
 
# 定义PDE
@PDE model function linearpde()
    α :: 1.0  # 参数
    Δu :: 1.0  # 导数
    @var x y u
    Dt(u(x, y, t)) ~ α * Δx(Δy(u(x, y, t)))  # PDE 方程
    u(x, y, 0) ~ cos(πx)cos(πy)  # 初始条件
end
 
# 求解PDE
@parameters t x y
@variables u(..)
Dt(u(t, x, y)) ~ 1.0 * (Dx(Dy(u(t, x, y))) + Dy(Dx(u(t, x, y))))
 
# 初始条件
bcs = [u(0, x, y) ~ cos(πx)cos(πy),
       u(t, 0, y) ~ u(t, 1, y),
       u(t, x, 0) ~ u(t, x, 1)]
 
# 求解
sol = solve(linearpde, 0.0, 1.0, 100, bcs)
 
# 可视化结果
using Plots
x = range(0, 1, length=100)
y = range(0, 1, length=100)
u_exact(x, y) = cos(π*x)cos(π*y)
 
contourf(x, y, u_exact(x, y')')
plot!(x, y, sol(1.0, x, y'), seriestype=:contourf)

这段代码定义了一个简单的PDE方程，并使用MethodOfLines.jl的solve函数求解该方程。然后，使用Plots.jl进行结果可视化。这个例子演示了如何使用MethodOfLines.jl来求解和可视化PDE的解。