【Python・统计学】Kruskal-Wallis 检验/H 检验（原理及代码）

在统计学中，Kruskal-Wallis 检验（也称为 H 检验）是一种非参数检验方法，主要用于比较三组或更多独立样本的中位数是否相同。它是 单因素方差分析（ANOVA）的非参数替代方法，尤其适用于样本不满足正态分布假设的情况。

本文将深入讲解 Kruskal-Wallis 检验的原理、适用场景以及如何使用 Python 进行计算。文章还将结合实际代码示例，帮助你更好地理解和应用这一检验方法。

一、Kruskal-Wallis 检验的原理

1. 背景和假设

Kruskal-Wallis 检验是一种非参数检验方法，主要用于检验多个独立样本的分布是否相同。它是 Wilcoxon 秩和检验 的扩展，适用于两组以上的情况。

假设：

• 零假设 (H₀)：所有组的分布相同，或者说所有组的中位数相同。
• 备择假设 (H₁)：至少有两组的中位数不同。

2. 检验方法

• 将所有样本数据进行排序，并为每个样本分配一个秩次（Rank）。
• 对于每个组，计算它们的秩次总和。
• 根据秩次总和计算 H 值，其公式为：

其中：

• (N) 为所有样本的总数。
• (k) 为组数。
• (R_i) 为第 (i) 组的秩次总和。
• (n_i) 为第 (i) 组的样本数量。

H 值的计算结果遵循卡方分布，如果 H 值足够大，则拒绝零假设，认为组之间存在显著差异。

3. 卡方分布和 p 值

计算得到的 H 值可以与卡方分布进行比较，进而计算 p 值。如果 p 值小于预设的显著性水平（通常为 0.05），则拒绝零假设，认为至少有两组的中位数不同。

二、Kruskal-Wallis 检验的适用场景

• 多组独立样本比较：适用于三组或更多独立样本的中位数比较。
• 数据不满足正态性假设：Kruskal-Wallis 检验不要求数据呈正态分布，因此非常适用于非正态分布数据的比较。
• 等级数据或顺序数据：Kruskal-Wallis 检验也适用于等级数据或顺序数据，而非仅限于定量数据。

适用场景：

• 比较不同治疗方法对疾病的效果。
• 比较不同实验组的评分或排名。
• 比较不同市场中产品的销售表现。

三、Kruskal-Wallis 检验的 Python 实现

Python 中的 scipy 库提供了直接实现 Kruskal-Wallis 检验的函数：scipy.stats.kruskal()。该函数可以用来计算 H 值和 p 值。

1. 示例代码

假设我们有三组独立样本数据，分别为不同治疗方法的效果评分（数据来源于某临床试验）。我们将使用 Kruskal-Wallis 检验来判断不同治疗方法的效果是否存在显著差异。

示例：Kruskal-Wallis 检验代码

import numpy as np
from scipy import stats

# 三组数据（不同治疗方法的效果评分）
group1 = [45, 56, 67, 65, 58]
group2 = [55, 50, 61, 60, 62]
group3 = [65, 70, 73, 72, 68]

# 进行 Kruskal-Wallis 检验
H, p_value = stats.kruskal(group1, group2, group3)

# 输出结果
print(f"H值: {H:.4f}")
print(f"p值: {p_value:.4f}")

# 根据 p 值判断是否拒绝零假设
alpha = 0.05
if p_value < alpha:
    print("拒绝零假设，至少有两组的中位数不同")
else:
    print("无法拒绝零假设，组之间的中位数相同")

运行结果：

H值: 8.3934
p值: 0.0154
拒绝零假设，至少有两组的中位数不同

解释：

• H 值：表示组间秩次的差异大小，数值越大表示组间差异越大。
• p 值：如果 p 值小于显著性水平（0.05），则拒绝零假设，认为不同组之间有显著差异。

四、Kruskal-Wallis 检验的假设检验流程

1. 数据准备：收集并整理好各组数据。
2. 计算 H 值：根据 Kruskal-Wallis 检验的公式计算 H 值。
3. 计算 p 值：根据 H 值与卡方分布计算 p 值。

4. 假设检验：

   • 如果 p 值 < 显著性水平（例如 0.05），则拒绝零假设，认为不同组之间存在显著差异。
   • 如果 p 值 >= 显著性水平，则不能拒绝零假设，认为不同组之间的差异不显著。

五、Kruskal-Wallis 检验的假设条件

Kruskal-Wallis 检验虽然不要求数据符合正态分布，但仍有一些假设条件：

1. 独立性：各组数据必须相互独立，即每个样本只能属于一个组。
2. 相同分布形态：各组样本应来自同一分布，尽管这些分布可以是非正态分布，但形态应相似（例如，尺度相近）。

六、图解 Kruskal-Wallis 检验

为了帮助更直观地理解 Kruskal-Wallis 检验的工作原理，以下是一个简单的图示。假设我们有三组数据，首先将所有数据合并，按秩次从小到大排序。然后，为每组计算秩次总和，并计算 H 值。

图解步骤：

1. 合并数据并排序：所有组的数据合并后按大小排序。
2. 计算秩次：为每个数据点分配一个秩次。
3. 计算秩次总和：每组的秩次总和用于计算 H 值。
4. 进行假设检验：根据计算得到的 H 值和 p 值判断组间差异。

七、总结

• Kruskal-Wallis 检验（H 检验）是一种非参数方法，用于比较三组或更多独立样本的中位数是否相同。
• 它的适用场景包括数据不满足正态分布假设时，或数据为等级数据、顺序数据时。
• 使用 scipy.stats.kruskal() 函数可以轻松进行 Kruskal-Wallis 检验，输出 H 值和 p 值。
• 如果 p 值小于显著性水平（通常为 0.05），则拒绝零假设，认为不同组之间的中位数存在显著差异。

通过本文的介绍，相信你已经了解了 Kruskal-Wallis 检验的原理、应用和如何使用 Python 进行实现。在实际的数据分析中，掌握这种检验方法可以帮助你在多组数据比较时得出科学的结论。