评价模型是对复杂问题进行多维度分析和决策的重要工具。在这篇文章中，我们将详细介绍三种常见的评价模型：层次分析法（AHP）、熵权法 和 TOPSIS分析，并通过 Python 实现及例题帮助你更好地理解和应用这些方法。
一、层次分析法（AHP）
1.1 原理简介
层次分析法（AHP）是一种用于多准则决策的数学方法，其核心思想是将复杂问题分解为多个层次，逐步进行重要性比较，并最终获得权重和排序。
AHP 的主要步骤：
- 构建层次结构模型。
- 构造判断矩阵。
- 计算权重和一致性检查。
1.2 Python 实现层次分析法
示例题目：
假设某公司需要评估三个供应商的综合能力，考虑价格、质量和交货时间三个因素，如何用 AHP 进行排序？
代码实现：
import numpy as np
# 判断矩阵
criteria_matrix = np.array([
[1, 1/3, 3],
[3, 1, 5],
[1/3, 1/5, 1]
])
def calculate_weights(matrix):
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(matrix)
max_eigval = np.max(eigvals.real) # 最大特征值
max_eigvec = eigvecs[:, np.argmax(eigvals.real)].real # 对应特征向量
weights = max_eigvec / sum(max_eigvec) # 归一化
return weights, max_eigval
# 计算权重和一致性比率
weights, max_eigval = calculate_weights(criteria_matrix)
n = len(criteria_matrix)
CI = (max_eigval - n) / (n - 1) # 一致性指标
RI = [0, 0, 0.58, 0.9, 1.12][n-1] # 随机一致性指标（对应矩阵大小）
CR = CI / RI # 一致性比率
if CR < 0.1:
print(f"权重: {weights}, 矩阵通过一致性检查，CR={CR:.4f}")
else:
print("判断矩阵一致性检查未通过，请调整判断矩阵！")1.3 结果解释
- 权重：用于评估各因素的重要性，例如
[0.2, 0.5, 0.3]表示质量权重最高。 - 一致性检查：若 CR 小于 0.1，说明判断矩阵的一致性较好。
二、熵权法
2.1 原理简介
熵权法通过计算数据的熵值来衡量指标的离散程度，从而确定指标的重要性。熵值越小，说明指标越重要。
熵权法的步骤：
- 构建原始数据矩阵。
- 数据归一化处理。
- 计算每列的熵值。
- 根据熵值计算权重。
2.2 Python 实现熵权法
示例题目：
评估某系统的性能，包含响应速度、准确率和资源消耗三项指标。
代码实现：
import numpy as np
# 原始数据矩阵
data = np.array([
[0.9, 0.8, 0.6],
[0.7, 0.9, 0.4],
[0.8, 0.7, 0.5]
])
def entropy_weight(data):
# 归一化处理
norm_data = data / data.sum(axis=0)
# 计算信息熵
entropy = -np.sum(norm_data * np.log(norm_data + 1e-10), axis=0) / np.log(len(data))
# 熵权
weights = (1 - entropy) / np.sum(1 - entropy)
return weights
weights = entropy_weight(data)
print(f"熵权法计算的权重: {weights}")2.3 结果解释
- 权重：表示指标的重要性分布，例如
[0.4, 0.3, 0.3]表示响应速度最重要。
三、TOPSIS分析
3.1 原理简介
TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）是一种评价方法，其基本思想是：
- 寻找最优解（正理想解）和最劣解（负理想解）。
- 计算每个备选项与最优解和最劣解的距离。
- 综合距离计算得分。
3.2 Python 实现 TOPSIS
示例题目：
对三个方案进行评分，考虑成本、性能、可靠性三项指标。
代码实现：
def topsis(data, weights):
# 数据归一化
norm_data = data / np.sqrt((data**2).sum(axis=0))
# 加权矩阵
weighted_data = norm_data * weights
# 正理想解和负理想解
ideal_best = weighted_data.max(axis=0)
ideal_worst = weighted_data.min(axis=0)
# 计算距离
dist_best = np.sqrt(((weighted_data - ideal_best)**2).sum(axis=1))
dist_worst = np.sqrt(((weighted_data - ideal_worst)**2).sum(axis=1))
# 计算得分
scores = dist_worst / (dist_best + dist_worst)
return scores
# 示例数据
data = np.array([
[100, 80, 90],
[95, 85, 85],
[90, 90, 80]
])
weights = np.array([0.3, 0.4, 0.3]) # 假设已知的权重
scores = topsis(data, weights)
print(f"TOPSIS分析得分: {scores}")3.3 结果解释
- 得分：得分越高，方案越优。例如
[0.6, 0.7, 0.8]表示第三个方案最好。
四、对比与总结
| 方法 | 优点 | 缺点 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| AHP | 结构清晰，适用于定性分析 | 构造判断矩阵较主观 | 指标数量较少的场景 |
| 熵权法 | 数据驱动，无需人为干预 | 对数据质量要求较高 | 数据指标较多的场景 |
| TOPSIS | 简单高效，能平衡正负理想解 | 需先确定权重 | 综合指标评分与排序 |
五、总结
- 层次分析法（AHP）适用于主观评估问题，可用于小型决策场景。
- 熵权法适用于大数据量、客观数据指标的分析。
- TOPSIS 是一种高效的多目标决策方法，适用于综合排序和选择。
通过本文的代码与示例，你可以轻松掌握这三种评价模型的核心思想和实现方式，进一步拓展到实际应用中！